2012年09月30日

#0427 素数のこと

なんだかんだで秋にはなるんですね。台風の心配もありますが、スレスレで子供の運動会をしてクタクタの店長です、こんにちわ。運動してないのにクタクタ。

さて、ある趣味の世界の範疇でどうしても避けて通れなくなって仕方なく勉強していたら結構面白くなってしまったという数学的なネタをご紹介しようという試み。ずっと以前には「フィボナッチ数列」という数学の概念が、そのまま自然界の法則性になっているということを記事にしていました。随分古いのでおさらいしますと、
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,94…
前の数二つを足した答えが次の数になるという法則性の数列です。これは細胞分裂での増殖予測に応用でき、この数が自然の中で私たちに結構関係しているというものでした。当然、この数列式を考えた時に自然や人間が感じる美しさの法則性との関連なんてなかった、後になって分かってビックリというものでした。
そして今回はまだ現実に未解決とされている部分が多い難し〜い分野の数列に挑戦です!「テストに出すからちゃんとついてくるように!」的な。

「素数」(そすう)って習いましたね。1と自身の数以外で割り切れない数の事です。2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19……です。例えば4は1と、自身の数4の他にも2で割り切れるので素数ではありません。この自然数は無限にあることは分かっていて、かつ演算コンピューターなどによってかなりケタまで素数を出すことに成功しています。というのも、この素数は「規則性にそって出現していない」から発見が難しいのです。仮に100までの間での素数は…
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
一つおきに出現している場合もあれば、最大で7つも空いて出現する。1000までの間では81個もの間に出現しないなんて場合もあります。どう見ても規則性なんてあるようには思えない。しかしこの出現に規則性があり、それを理解する事が宇宙全体を理解する真理になるとまで言った数学者がかつていました。そしてまだその規則性は発見されておりません。つまり無限にあることは分かっていても例えば3ケタ台に素数がいくつあるかを調べるには手でイチイチ割り切れるかどうかを計算するしか方法が無いのです!今は計算に特化したコンピューターによって1297万8189ケタという天文学的な数字まで計算が完了しているのですが、それ以上のケタや、これだけある中から特定の素数だけを抜き取って何かの演算基本に使用されるともうお手上げという事になります。ここ数日では日本のスーパーコンピューター「京」が話題になっておりますが、それを使用すれば大変なケタでも一気に分かりそうです。規則性の発見も可能かも知れないと期待しているんですけどね。この素数をインターネットの暗号化通信に利用したりしているのです。割り切れないため代数を使用できず、あるケタの素数二つを掛けたりしたら、その数字が素数であるかどうかすら分からないという事ですね。
この素数の出現に規則性はないのか。ある公式を使えば(開発すれば)筆記によってでもすぐに何万桁でも素数を見つけ出すことができないか?という挑戦は今でも数学者の間で研究されているのですが、まったく関係なく作られた数学の理論「ゼータ関数」によって出された数字と部分的に合致することが分かりました。あくまでも部分的です。そして合致した素数を並べてみたところ、なんと原子核が出すエネルギーの間隔と合致したといいます。量子物理学に繋がったのです。もうワケが分からない。でも何となく規則性がありそうな感じはしてきました。

一体どんな趣味でこんな数学にぶち当たったのかはさておいても、一般人たる私が数学の真理の入り口に触れたような、そんな経験でした。なんか頭良くなったような気がするじゃないですか!


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